랜덤 오차 전파(propagation of random error)

간접 측정
우리가 간접적으로 측정하는 값들은 모두 랜덤오차가 있다고 했습니다. 참값을 모르기 때문이죠. 간접 측정의 경우에는 직접 측정의 결과값을 바탕으로 다른 결과를 내는 것인데, 간접 측정의 결과의 오차는 어떻게 판단이 가능할까요?

a와 b에도 오차가 있는 것을 알지만, 두 개를 곱한 값 s는 오차가 얼마인지 어떻게 추정이 가능할까요?
두 번째는 심지어, 두 개의 오차가 단위마저 다른데 어떻게 추정이 가능할까요?

간단한 선형 결합 상태의 오차 전파

이때 a1, a2를 계수, σ12를 공분산이라고 합니다. 왜 표준편차가 아니고 분산임에 유의합니다.

그래서 이렇게, 오차 전파의 식은 표현이 가능합니다. AΣA’ 꼴이죠.

그래서 예제를 살펴보면, 이러한 것이 가능합니다. 특히 independently 이기 때문에, 공분산이 0임을 알 수 있습니다.

표준 편차가 일정할 때

우리는 앞서 배운 교육과정에서 표준편차 뿐만 아니라 평균의 표준편차라는 개념을 배운 적이 있습니다. (혹은 표준오차) 표준편차에 대한 식은 이해하기 어렵지 않지만, 표준오차가 표준편차에서 루트n을 나눈 값이라는 내용은 꽤나 생소합니다. 표준 편차가 일정한 어떠한 식에 대해서, 이러한 표준 오차가 도출되는 과정을 알아보도록 합시다.

비선형 식에 대한 오차 전파

만약 z = sin(x)와 같은 식이 있다고 해봅시다. 이러한 식에 대한 오차 전파는 어떻게 처리해야 할까요?

Taylor 급수로, 근사값을 구하는 방법에 기인합니다. z = f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (f”(a)(x-a)^2)/2! …. 이때 두번째 항 이하부터는 값에 유의미한 영향은 없으므로, f(a) + f’(a)(x-a)로 근사합니다.
이제 식이 선형으로 근사가 되었습니다. 이 식을 기반으로 AΣA’ 꼴을 만들게 되면,

이러한 식이 나오게 됩니다. 사실상 이 식이 AΣA’ 이 가장 일반화 된 버전이라고 생각할 수 있습니다. 식을 문제에 적용하는 것은 사실 그렇게 어렵지는 않으므로, 예제를 하나 풀어보겠습니다.