조정계산론
조정계산론에서는 조정 계산을 위한 기본 개념과 용어를 학습합니다.
정보화 시대
최근 정보화 시대를 맞아 데이터를 수집하는 속도가 매우 빨라졌습니다. GPS, 위성 등으로 관측할 수 있는 기술이 있기 때문입니다. 앞으로는 지리정보체계(GIS)를 다룰 일이 많을텐데, GIS는 대량의 데이터에 의존합니다. 하지만 이렇게 측정된 데이터는 참값이라고 하기 어렵기 때문에(오차를 포함하고 있어) 사용하기 전에 반드시 처리(조정)하는 과정이 필요합니다.
오차를 보정하는 방법
- 오차의 정도를 파악하기 위해 측정값에 대한 통계적 분석을 수행하고, 허용 오차 범위를 벗어나는지 여부를 결정하기 위해 측정값의 분포를 탐색합니다.
- 측정값의 오차율이 낮아 수용 가능한 경우(보편적인 값인 경우), 기하학적 조건이나 기타 제약 조건을 만족하기 위해 측정값을 조정합니다.
측정값을 처리하기 위한 이 절차는 조정 계산의 기본적인 개념입니다.
왜 관측을 할까요?
- 지질 공학자들은 보통 미지의 수량(모수)을 얻으려 하는데, 측정값으로는 이 값을 알기 어렵습니다.
- 일부 측정값(표본)들을 수집하고 관측값과 모수와의 적절한 수학적 모델을 채택하므로서 해결합니다.
측정의 방법
직접 측정치 : 미지의 수량에 직접 계측기를 설치해 그 값을 관측합니다. 일상생활에서도 자주 쓰일 만큼 직관적입니다. 하지만 앞서 언급했던 모수를 얻기 힘든 경우에는 이 측정 방법이 유효하지 않습니다.
간접 측정치 : 직접 측정이 불가능한 경우에 사용합니다. 값은 수학적 관계로부터 정의됩니다. 우리가 각도와 거리를 알면 높이를 알 수 있는것도 간접 측정에 해당합니다.
간접 측정의 오차
- 직접 관측에 의한 오차는 계산 과정을 통해 간접 값으로 전파됩니다.
- 간접 측정값에는 직접 관측에서 야기된 오차 값이 포함되어 있습니다.
- 이러한 오차가 생기는 것을 오차 전파 (error propagation)라고 합니다. (오차론의 핵심이 되는 부분)
측정 오차는 생길 수밖에 없습니다.
정확한 측정이란 없습니다. 측정마다의 오차가 존재합니다. 측정값의 참값을 알 수 없습니다. 따라서 존재하는 오차에 대한 정확한 크기 또한 알 수 없습니다.
그럼 이런 오차는 무엇 때문에 생기나요?
사용 장비의 전반적인 정교성, 측정시의 환경 조건, 인간의 한계혹은 숙련도 등
y = μ + e ?
y는 측정된 값을 의미하고, e는 측정에서 발생된 오차를 의미합니다. 따라서 μ는 참값을 의미합니다. y = μ + e는 측정에 있어서 항상 성립합니다. 앞으로 조정계산에서 사용될 가장 기본적인 수학적 모델입니다.
오차의 분류
오차의 출처에 따른 분류
기계 오차 : 기계의 사용 불량 혹은 기계 자체로 인한 오차
자연 오차 : 기후변화, 중력장, 자기장등으로 발생하는 자연적 오차 (환경적 요인)
개인 오차 : 관측자의 신체적 한계로 인해 발생하는 오차, 관측자의 부주의로 인해 발생한 오차
오차의 유형에 따른 분류
과대 오차(Gross Error, 실수) : 혼동이나 관찰자의 부주의로 야기되는 오차 (ex : 읽기 오류, 작성 오류 등) 하나의 값이 이상점으로서 분류 가능한 경향이 있습니다.
정 오차(Systematic Error) : 일부 물리적 법칙에 의해서 발생하는 오차. 물리적 법칙을 알고 있다면 이를 예측할 수 있습니다. 예를 들면 영점 조절이 제대로 되지 않았을 때, 표준길이가 아닌 수평봉을 사용한 경우가 있습니다. 이러한 경우에는 모든 값에 일정한 오차가 생겼으므로, 계산을 통해 보정이 가능합니다.
우연 오차(Random Error) : 앞의 두 가지 오차를 제외하고 남는 오류입니다. 과대오차나 계층오차가 없더라도, 우리는 참값을 알 수 없기 때문에 항상 존재합니다.
(세 가지 오류를 표현한 그림입니다. 중간이 참값을 의미합니다.)
예를 들면 이렇게 책상의 길이를 쟀는데, 다음과 같이 152.3인 경우 그 값을 이상점으로 분류해 제거합니다. 이상점을 제거하고 남은 값은 5정도 편중된 경향이 있습니다. 이 값을 계산을 통해(여기서는 -5) 과대오차와 계층 오차가 제거된 값을 얻고, 남은 값은 우연 오차로 수용 가능하다고 판단합니다.
다음은 관측 상황과, 오차의 유형, 출처에 따른 분류 예제입니다.
| Identify each of the following errors according to its type | |
|---|---|
| Reading a level rod | Random Error |
| Not holding the level rod plumb | Random Error |
| Leveling of an automatic leveling instrument | Systematic Error |
| Using a level rod that has one foot removed from the bottom | Systematic Error |
| Write the 150m of reading value as 50m | Gross Error |
| Shaking of instrument due to wind | Random Error |
| Settlement of instrument on turning point | Random Error |
| Identify each of the following errors according to its source | |
|---|---|
| Level rod length | instrumental Error |
| Air temperature in an EDM observation | natural Error |
| Reading a level rod graduation | personal Error |
| Earth curvature in leveling observations | natural Error |
| Horizontal collimation error of an automatic level | instrumental Error |
| Ability to read a micrometer | personal Error |
정확도 vs 정밀도
같은 것을 반복적으로 측량하더라도 우리는 대부분 다른 값을 얻습니다. 과대 오차나 정 오차가 없다면 우연 오차로 인해서요. 정밀도 : 관측한 값이 오밀조밀 모여 있을수록 정밀도가 높다고 하며, 이를 일관성이 있다고 합니다. 값이 얼마나 모여있는지 판단할 수 있는 기준이 필요한데, 평균을 사용해 정밀도를 판단합니다. 정밀도를 이야기 할 때 가장 많이 쓰는 통계량은 표준편차입니다.
정확도 : 측정한 값이 참값에 얼마나 가까운지에 대한 척도입니다. 그런데 우리는 항상 참값을 알 수 없습니다. 보통 특정 값을 참값이라고 가정한 후 정확도를 표현할 수 있습니다.
측량의 조건
어떤 값을 측량 혹은 관측할 때, 우리는 이러한 조건을 만족해야 합니다.
- 상승, 하강을 반복할 때 표고차는 0입니다.
- 삼각형의 내각의 합은 180º여야 합니다.
- 수평으로 측정한 각의 합은 360º 여야 합니다.
- 같은 값에 대한 두 가지 다른 측정값은 같아야 합니다.
이런 경우를 만족하지 않는다면 오류가있다는 것을 우리는 이론적으로 알지만, Gross Error와 Systematic Error을 제거했음에도 만족하지 않습니다. 이러한 오차는 항상 존재합니다.
중복 측정
우리가 미지수를 측량하기 위해서는 일정 횟수 이상 측정해야 합니다. 중복 측정을 하게 되면, 측정값이 하나가 아니므로 측정값의 수용/거부에 대한 오차의 평가와 의사결정이 가능하게 됩니다. 미지수에 대해 정밀도가 높은 최종값을 결정할 수 있도록 합니다.
조정(Adjustment)
중복 측정은 항상 실시하고, 조정 또한 항상 실시합니다. 조정은 측정값에서 오차가 있는지를 판단하고, 최종값의 정밀도를 높일 수 있습니다. (정확도를 높일 수 있다고는 할 수 없습니다. 우리는 참 값을 모르기 때문입니다.)
LS(Least-Square, 최소 제곱법)
많은 조정 방법 중 공대에서 선호하는 방식은 최소 제곱법입니다.
- 최소 제곱법은 많은 조정 방식중에서 가장 엄격하고, 수학적 확률 이론에 근거합니다. (제곱의 합의 오차는 최소화되므로)
- 다른 조정 방식보다 유용하게 사용할 수 있습니다. 기본 틀을 수정하지 않아도 최소제곱법을 여러 문제에 쉽게 적용할 수 있기 때문입니다.
- 정밀한 사후조정 분석(측정 후 결과 분석)이 가능합니다. 따라서 결과에 대한 완전한 통계분석이 가능합니다.
- 사전조사 계획수립에 사용할 수 있습니다.